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확률과 통계에서 많이 헷갈리기도 하고 문제에서 일부러 같이 내기도 하는 배반사건과 독립사건에 대해 설명했습니다.
경우의 수를 배운 다음에 확률에 들어가고 확률의 덧셈정리와 곱셈정리를 배웁니다. 확률의 덧셈정리를 배울 때 등장하는게 배반사건이고 곱셈정리를 배울 때 독립사건이 나오게 됩니다. 곱셈정리는 조건부 확률부터 곱셈정리라고 생각하시면 됩니다.
먼저 배반사건은 영어로 Mutually exclusive events 라고 합니다. 그리고 독립사건은 Independent Events 라고 하고요. 배반사건부터 보시면 정의는 교집합이 공집합입니다. 즉 서로소 입니다. 두 사건은 서로소 이기 때문에 벤다이어그램으로 떨어지게 그려서 표현을 할 수 있습니다. 덧셈정리에서 배반사건을 활용할 때는 각 확률을 더하기만 하면 합집합의 확률이 나옵니다. 교집합의 확률이 0이니까요.
그다음 확률에 곱셈정리는 할 필요가 없죠. 교집합은 공집합이어서 교집합의 확률은 0입니다. 그리고 배반사건은 동시에 일어나지 않습니다. 그다음 독립사건은 조건부확률을 배운 다음에 배웁니다. 독립사건의 정의는 동시에 일어날 때 서로 영향을 주지 않습니다. A가 일어날때 B가 일어날 확률이나 A가 일어나지 않을 때 B가 일어날 확률이 변함없이 그냥 B의 확률입니다. A가 일어나든 일어나지 않든 B는 영향이 없습니다.
독립사건은 벤다이어그램으로는 여러 가지로 그려질 수 있기에 표현할 수는 없습니다. 덧셈정리에서는 당연히 A와 B사건을 더한 후 서로소는 아니니까 교집합 만큼은 빼야하고요. 확률의 곱셈정리에서 교집합을 구할 때는 A확률과 B확률을 서로 곱해주면 교집합을 구할 수 있습니다.
이 독립사건의 식은 정의를 이용한 조건부확률식에서 얻을 수 있습니다.
이런식으로 A가 일어났을 때 B가 일어날 확률을 구하는 조건부확률식이나 반대로도 표현할 수 있고요. 어쨋든 A와 B의 확률을 곱하면 교집합의 확률이 나옵니다.
나중에 독립사건을 구하여라 라는 문제가 나오면 '독립사건' 이라고 안 써있고 '독립'인 것을 구하시오 라고 나올 수도 있습니다. 그러면 각 확률 곱한게 교집합이 됨을 보이면 됩니다.
그럼 주사위를 던졌을 때 독립인 것을 고르시오 라고 나오는데 주사위는 던질 때 독립이라고 배웠는데 왜 독립인 것을 고르라고 하는 거지? 라는 생각을 가지셨다면 그건 독립시행과 헷갈린 겁니다. 주사위를 던지는 행위도 독립적인데 그건 독립시행을 한거고 거기서 나오는 사건들이 독립인지는 위의 식으로 체크를 해봐야합니다.
독립사건과 배반사건에 관련한 명제입니다. A,B의 확률이 0보다 크다는 조건이 있을 때 성립하는 명제입니다.
A,B가 배반사건이면 A, B 는 서로 종속이다. 이것의 대우는 A,B가 서로 독립이면 A, B는 서로 배반사건이 아니다 입니다.
그러므로 둘중에 편한 명제로 구한 후 참인지 거짓인지 판별하면 됩니다.
독립임을 보이려면 A와 B의 확률을 곱한게 A,B의 교집합과 같음을 보이면 되죠?
근데 배반사건이므로 A와 B의 교집합은 0인데 A, B 확률을 곱한 식은 0이 될 수 없습니다. 전제 조건에서 A,B의 확률이 0보다 크다고 했으니까요.
그러므로 위의 명제들은 참입니다.